Proszę o pomoc - funkcje wymierne Mariusz: Witam mam problem z takim zadaniem czy mógłbym prosić o pomoc i wyjaśnienie. zad Wykaż że: a) b−c c−a a−b 2 2 2 −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−= −−−−− + −−−−−− + −−−−− (a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b) a−b b−c c−a b) x/a+y/b+z/c =1 i a/x + b/y + c/z=0 to x²/a² + y²/b² + z²/c² =1

Mariusz: czy mogę liczyć na pomoc?

Mickej: ja to chyba kiedyś robiłem ale w tedy to nie było takie rozmazane

tim: Mariusz, zapisz to w postaci ułamka U { }{ }

Mariusz: sory troche mi to przeskoczyło b−c c−a a−b 2 2 2 −−−−−−−−− + −−−−−−− + −−−−−−−−−= −−− + −−−−− + −−−− (a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b) a−b b−c c−a czy to trzeba sprowadzać wszystko do wspólnego mioanownika czy jest jakiś szybszy sposób na to

Mariusz:

Basia: Jestem, na rzazie czytam

♊: Ja bym wyszedł od prawej strony (bo tak chyba łatwiej).

	2		2		2
P=		+		+		=
	a−b		b−c		c−a

1

1

1

1

1

1

=

+

+

+

+

+

a−b

b−c

c−a

a−b

b−c

c−a

Teraz połącz parami te ułamki, żeby powstały takie same mianowniki jak po lewej stronie i skróć wyrazy podobne w licznikach.

Basia: Na "oko" wydaje się, że łatwiej będzie od prawej, ale to może być mylące. W drugim: ^x_a + ^y_b + ^z_c = 1 podnieść obustronnie do kwadratu, a drugie sprowadzić do wspólnego mianownika. Wyjdzie. Spróbuj. Za jakieś 45 minut będę mogła znowu tu zajrzeć. Jakby coś Ci się nie udało spróbuję policzyć.

♊: Tam dalej mogą Ci się nie zgadzać znaki + i −. Ale pewnie zauważyłeś, że w niektórych mianownikach jest a−b a w innych b−a. Po prostu wyłączasz z jednego wyrażenia minus i wstawiasz do drugiego.

Mariusz: dobra spróbuje zrobić i zobacze czy mi wyjdze, dzięki za pomoc

Mariusz: I jesteś może

♊: ja jestem od czasu do czasu zaglądam do tematów w których się udzialałem (chyba, ze przez ostatnie 24 h nikt nic nie napisał to już nie :P ). A co ?

Basia: Ja też jestem.

Mariusz: mam taki podpunkt a²*(x−b)(x−c) b² (x−c)(x−a) c²* (x−a)(x−b) −−−−−−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−−−−−−−− =x² (a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b) czy mozna robic trzy założenia raz że x=a potem x=b i że x=c czy trzeba to jakoś sprytniej rozłożyć

Mariusz: a2*(x−b)(x−c) b2 (x−c)(x−a) c2* (x−a)(x−b) −−−−−−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−−−−−−−− =x2 (a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b)

Mariusz: kurcze ale mi przesuwa a2*(x−b)(x−c) b2 (x−c)(x−a) c2* (x−a)(x−b) −−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−− + −−−−−−−−−−−−−− =x2 (a−b)(a−c) (b−c)(b−a) (c−a)(c−b)

♊: Jedyne zalożenie, które możesz ( a nawet powinieneś) zrobić, to takie, że w mianowniku nie może być zero. To niestety bedziesz musiał trochę inaczej rozwiązać. Co do przesuwania:

	licznik
wpisz U{licznik}{mianownik} żeby otrzymać
	mianownik

Mariusz: a mogę liczyć na jakąś wskazówke ( tam na końcu jest x²)

♊: Spróbuj zrobić podobnie z tymi licznikami i mianownikami jak w tamtym poprzednim zadaniu, tylko, że od lewej stroy zacznij. Ja chwilowo idę sobię uszykować kolację, a to mi zająć może nawet godzinę Więc spróbuj, napisz do czego doszedleś, jeśli gdzieś utkniesz. Jeżeli basia nie znajdzie jakiejś dobrej metody w międzyczasie to spróbuję coś wykombinować.

Mariusz: Basiu czy masz może jakiś pomysł

Basia: Możesz zobaczyć jaka będzie lewa strona dla x=a itd. Może Ci to coś da (chociaż wydaje mi się, że nie), ale udowodnić równość masz dla dowolnego x, a nie tylko dla tych wybranych. Zauważ, że drugi = − U{b²}(x−c)(x−a)}{(a−b)(b−c)}

	c2(x−a)(x−b)
trzeci =
	(a−c)(b−c)

i pomnóż obustronnie przez (a−b)(a−c)(b−c) sporo liczenia, ale innego sposobu nie widzę

Mariusz: no właśnie próbowałem sie pozbyć mianowników ale to wychodzi strasznie dużo liczenia, choć z drugiej strony wynik jest dobry

Basia:

	b2(x−c)(x−a)
drugi = −
	(a−b)(b−c)

♊: Basiu − pozwól, że poprawię:

	b2(x−c)(x−a)
drugi = −
	(a−b)(b−c)

Basia: Niestety nic innego mi do głowy nie przychodzi.

Mariusz: mam jeszcze jeden przykład (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=(a+b−2c)² + (b+c−2a)²+ (c+a−2b)² to a=b=c

Basia: Trzeba tylko sprytnie mnożyć. Piszę (ale to i tak dużo więc potrwa)

Mariusz: nie musisz pisać dam rade tylko że myśla nad jakimś szybszym sposobem

♊: W pierwszej klasie liceum mialem podobne zadania. Cyfra 1 byla tak sprytnie rozpisana, że zajmowała całą linijkę kartki A4. RRozwiązanie zajmowało całą resztę strony zazwyczaj :P

Mariusz: wykaż jeśli a²+b²+c²=ab+ac+bc to a=b=c (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0

Mariusz: myśle

Basia: (a−b)² + (b−c)² + (c−a)² = a² − 2ab + b² + b² − 2bc + c² + c² − 2ac + c² = 2(a²+b²+c²) − 2(ab+ac+bc) ponieważ a²+b²+c² = ab+ac+bc to (a−b)² + (b−c)² + (c−a)² = 2(a²+b²+c²) − 2(a²+b²+c²) =0 a to jest możliwe ⇔ a−b=0 ∧ b−c=0 ∧ a−c=0 ⇔ a=b ∧ b=c ∧ a=c ⇔ a=b=c

Eta: Nie wiem bardzo o co pytasz? suma kwadratów = 0 gdy a= b = c

Mariusz: dziękuje

Mariusz: jesli (a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=(a+b−2c)²+(b+c−2a)²+(c+a−2b)² to a=b=c

Mariusz: jeżeli wylicze prawą stronę to wychodzi mi 6*(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²

Mariusz: czyli dokańczm jak poprzednie i jest git

Mariusz: mam jeszcze problem z takim przykładem

x

y

z

a

b

c

+

+

=1 i

+

+

=0 to

a

b

c

x

y

z

	x2		y2		z2
		+		+		=1
	a2		b2		c2

Basia: ( ^x_a+^y_b+^z_c)² = 1² = 1

x2		y2		c2		2xy		2xz		2yz
	+		+		+		+		+		= 1
a2		b2		z2		ab		ac		bc

x2		y2		c2		2xyc +2xzb + 2yza
	+		+		= 1 −
a2		b2		z2		abc

x2		y2		c2		2(xyc +xzb + yza)
	+		+		= 1 −
a2		b2		z2		abc

^a_x+^b_y+^c_z = 0 ^ayz+bxz+cxy_xyz=0 ayz+bxz+cxy = 0 stąd:

x2		y2		c2
	+		+		= 1 −2*0abc = 1
a2		b2		z2

Mariusz: dziekuje